Функциональный анализ, раздел математики, изучающий функции, аргументы к-рых принадлежат бесконечномерному пространству (топологич., векторные, метрические, гильбертовы и банаховы пространства), их отображения, а также методы, с помощью к-рых сведения об этих структурах применяются к конкретным задачам. Основные направления Ф.а.: введение и изучение бесконечномерных пространств (с бесконечным множеством линейно независимых векторов); иссл. функционалов (простейших функций, у к-рых область значений является одномерным пространством) и операторов (функций со значениями в бесконечномерном пространстве). Осн. принципы Ф.а.: равномерная ограниченность, открытые отображения, непрерывные продолжения функционала (теорема Хана—Банаха). Применяется в теории функций, теории дифференц. и интегральных ур-ний, вероятностей теории, квантовой механике, математической экономике и др. В Башкортостане с 70-х гг. 20 в. в Математике институте исследуются топологич. св-ва пространств аналитических функций, в т.ч. изоморфное описание сопряжённых пространств, полнота и базисность систем функций, действие операторов свёртки в этих пространствах и др. (А.М.Гайсин, В.И.Луценко, И.Х.Мусин, В.В.Напалков, С.В.Попёнов, Б.Н.Хабибуллин, Р.С.Юлмухаметов); изучены банаховы пространства функций веществ. переменных, установлены точные теоремы следа и продолжения, найден оператор наилучшего продолжения (М.Д.Рамазанов). С 80-х гг. в Башкирском государственном университете ведутся иссл. спектральных св-в дифференц. операторов (Х.Х.Муртазин, Я.Т.Султанаев); в Авиационном техническом университете — по теории интерполяции линейных операторов, получено орбитальное описание пространств Кальдерона —Лозановского (В.В.Водопьянов), в терминах Ф.а. сформулированы задачи оптимизации портфеля сложных финансовых инвестиций (Е.М.Бронштейн).
