Краевые задачи, задачи определения функции внутри области (среди функций заданного класса) по информации о предельных значениях её самой и (или) её производных на всей или части границы и по интегро-дифференц. соотношениям в области.
Говорят о К.з. для дифференц. ур-ния, если искомая функция удовлетворяет в области заданному дифференц. ур-нию; о задаче продолжения функции с границы внутрь области в опред. пространстве, если ищется функция из заданного функц. пространства. В задаче сопряжения функция определяется внутри и извне области по заданному соотношению между предельными значениями на границе и удовлетворяет данному ур-нию в каждой из этих областей. В К.з. для ур-ний смешанного типа (напр., эллиптико-гиперболич.) функция определяется в объединении двух областей, имеющих общий участок границы, в одной из них функция удовлетворяет заданному эллиптич. ур-нию, а в др. — гиперболическому. В К.з. для систем дифференц. ур-ний вместо функции в области определяется вектор-функция.
По постановке краевых и начальных значений искомой функции (и методам их исследования) различают К.з. для линейных и нелинейных дифференц. ур-ний эллиптич., гиперболич., параболич. типов и др. Среди правильно поставленных К.з. выделяют корректные К.з., решение к-рых существует, единственно и непрерывно зависит от её данных. Теория К.з. развивается в тесном взаимодействии с прикладными задачами: ур-ния гиперболич. типа описывают волновые процессы, параболич. — процессы диффузии и распространение тепла, эллиптич. — установившиеся процессы, эллиптико-гиперболич. ур-ния связаны с динамикой движения газа; Максвелла ур-ния описывают эл.-магнитные волны, Навье-Стокса — динамику движения жидкости. Собств. функции операторов вихря и Стокса используются в астрофизике, гидродинамике и в физике плазмы.
В Башкортостане в годы Великой Отечественной войны работали акад. Н.Н.Боголюбов, М.А.Лаврентьев и А.Н.Тихонов — создатели монографий и учебников по матем. физике. Боголюбов разработал новые методы иссл. динамич. систем, лежащих в основе теории устойчивости движения, гироскопич. систем, теории управления ракет; совм. с акад. Н.М.Крыловым исследовал проблему крутильных колебаний коленчатых валов авиамоторов и их вибростабилизацию. Лаврентьев, исследуя задачи гидродинамики и газовой динамики, закладывает основы теории К.з. для ур-ний смешанного типа, создает теорию кумулятивных зарядов (см. Кумулятивные заряды эластичные) снарядов, пробивающих броню. Тихонов решает задачи поглощения газа из тока воздуха слоем зернистого материала, эл.-разведки полезных ископаемых, проблемы транспортировки нефти и распространения эл.-магнитных волн в цилиндрич. трубах (радиоволноводах).
Регулярные иссл. К.з. продолжены их учениками и последователями в 60-х гг. 20 в. в Башкирском государственном университете одновр. с развитием приближённых и численных методов решения разл. прикладных задач (З.И.Биглов, И.Г.Дядькин, В.Т.Иванов, У.В.Игнатьев, Л.И.Рубинштейн, А.Ф.Клементьев, Г.П.Смирнов, В.Н.Стариков). С нач. 70-х гг. в Математике институте развиваются асимптотич. методы иссл. решений К.з. (А.М.Ильин, Л.А.Калякин, В.Ю.Новокшенов, М. Д. Рамазанов, Б.И.Сулейманов, Ю.З.Шайгарданов и др.), исследуются вопросы разрешимости нелинейных ур-ний матем. физики и К.з. (А.Б.Шабат, Новокшенов, И.Т.Хабибуллин и др.). С 80-х гг. в Уфе изучаются корректные постановки К.з. для обобщённо эллиптич. систем и в т.ч. для систем ур-ний Максвелла, Стокса, Соболева в случае установившихся процессов (Р.С.Сакс), исследуются сингулярно возмущённые К.з. (Р.Р.Гадыльшин), качеств. теория параболич. К.з. (Ф.Х.Мукминов) и разл. вопросы спектральной теории для обыкновенных дифференц. ур-ний и ур-ний в частных производных (М.Г.Гимадисламов, Я.Ш.Ильясов, Х.Х.Муртазин, И.А. Соломещ, Я.Т.Султанаев, З.Ю.Фазуллин, Ю.А.Кордюков), разрабатываются функционально-аналитич. и числ. методы решения К.з. (Рамазанов), решается задача построения собств. функций операторов вихря и Стокса в таких областях как шар, куб и др., исследуются К.з. для системы ур-ний Навье-Стокса (Сакс). В Стерлитамакской педагогической академии исследованы К.з. для ур-ния Лаврентьева-Бицадзе и др. ур-ний смешанного типа, решаются разл. прикладные задачи (К.Б.Сабитов, И.А.Калиев, В.Н.Кризский и др.).
Методы теории К.з. находят применение и развитие в задачах механики (М.А.Ильгамов, С.Ф.Урманчеев; Механики Институт), оптим. управления (И.И.Голичев, Ин-т математики; Ф.В.Лубышев, Н.Д.Морозкин, С.А.Щербинин, БГУ), при расчётах трубопроводов (С.Ю.Рудерман), при иссл. разл. обратных задач (С.И.Спивак, А.М.Ахтямов, БГУ; Р.М.Асадуллин, БГПУ).
